试求实数a,b,使得函数y1=x2+ax+b,y2=x2+bx+a与x轴的4个交点中相邻两个点的距离相等

Question

试求实数a,b,使得函数y1=x2+ax+b,y2=x2+bx+a与x轴的4个交点中相邻两个点的距离相等

Answer 1

设y1与x轴相交与x1、x2(x1>x2),设y2与x轴相交与x3、x4(x3>x4).
1.当y1与y2在x轴的交点不交错的时候,即x1>x2>x3>x4(y1的两个交点都在y2两交点的右侧),或x4>x3>x2>x1(y2的两个交点都在y1两交点的右侧)
有距离公式可算出a=b,与假设不符,所以此情况不成立.
2.当y1与y2在x轴的交点交错的时候,即x1>x3>x2>x4或x3>x1>x4>x2时
当x1>x3>x2>x4时,
由于相邻两交点距离相等,所以x1-x3=x3-x2=x2-x4,可以看出x3是x1和x2的中点,就是说x3在y2的中轴线上,即点（-a/2,0）过y2,将该点带入可得：
a^2/4-ab/2+a=0 ………… （式1）
同理,x2是x3和x4的中点,点（-b/2,0)过y1,带入得：
b^2/4-ab/2+b=0 ………… （式2）
解式1和式2得：
a=0 b=4 或
a=4 b=0