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设A3×3是实对称矩阵,|A|=-12,A的三个特征值之和为1,且α=(1,0,-2)T是方程组(A*-4E)x=0的一个解向量.①求矩阵A;②求方程组(A*+6E)x=0的通解.
题目详情
设A3×3是实对称矩阵,|A|=-12,A的三个特征值之和为1,且α=(1,0,-2)T是方程组(A*-4E)x=0的一个解向量.
①求矩阵A;
②求方程组(A*+6E)x=0的通解.
①求矩阵A;
②求方程组(A*+6E)x=0的通解.
▼优质解答
答案和解析
解 ①因为α=(1,0,-2)T是方程组(A*-4E)x=0的一个解向量
⇒(A*-4E)α=0,
即A*α=4α,
又A*A=AA*=|A|E=-12E,
故AA*α=4Aα=-12α⇒Aα=-3α,
所以α=(1,0,-2)T是A的对应特征值λ3=-3的特征向量;
设A的另外两个特征值为λ1,λ2,
则λ1+λ2+λ3=1,λ1λ2λ3=|A|=-12,
解得λ1=λ2=2,
设λ1=λ2=2对应的特征向量为x=(x1,x2,x3)T,
则它与α=(1,0,-2)T正交,即x1-2x3=0,
其基础解系为α1=(0,1,0)T,α2=(2,0,1)T,
令P=(α1,α2,α),则P−1AP=Λ=
,
所以A=PΛP−1=
②(A*+6E)x=0
⇒(AA*+6A)x=0
⇒(A-2E)x=0,
A−2E=
⇒(A*-4E)α=0,
即A*α=4α,
又A*A=AA*=|A|E=-12E,
故AA*α=4Aα=-12α⇒Aα=-3α,
所以α=(1,0,-2)T是A的对应特征值λ3=-3的特征向量;
设A的另外两个特征值为λ1,λ2,
则λ1+λ2+λ3=1,λ1λ2λ3=|A|=-12,
解得λ1=λ2=2,
设λ1=λ2=2对应的特征向量为x=(x1,x2,x3)T,
则它与α=(1,0,-2)T正交,即x1-2x3=0,
其基础解系为α1=(0,1,0)T,α2=(2,0,1)T,
令P=(α1,α2,α),则P−1AP=Λ=
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所以A=PΛP−1=
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②(A*+6E)x=0
⇒(AA*+6A)x=0
⇒(A-2E)x=0,
A−2E=
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