设A为奇数阶实对称矩阵,且det(A)>0.求证：存在非零向量X,满足X的转置乘以A再乘以X大于0

Question

设A为奇数阶实对称矩阵,且det(A)>0.求证：存在非零向量X,满足X的转置乘以A再乘以X大于0

Answer 1

det（A）>0
所以利用数学归纳法的逆归纳,因为假设f（x1,x2,x3..xn-1）=Xn-1的转置乘以An-1再乘以Xn-1的k-1阶顺序主子式成立,那么f（x1,x2,x3..xn-1,xn）=Xn的转置乘以An再乘以Xn的k阶顺序主子式也成立,可反推证,k=1,2,.n时△k>0恒成立（参考顺序主子式）
综上矩阵A正定,所以X的转置乘以A再乘以X大于0成立,参考实二次型的定性这一节
补充：首先你的结论就是要证明这个矩阵正定,又因为里面提到了det（A）>0,所以利用顺序主子式来做,只要证明△k>0在n=1,2,3..n都成立即可,现在det（A）>0,即k=n时△k>0成立,现在只要利用证明n-1时△k>0也大于零就可以用数学归纳法了,假设An正定,那么有·C使得|C1转置An-1C|=|C1|^2|A|=|An-1|.a,令a>0,所以An-1也正定,根据数学归纳法A正定,所以X的转置乘以A再乘以X大于0成立.