已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径R．

Question

已知正三棱锥的高为1，底面边长为2√(6)，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．√(6)，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．√(6)

6

6

Answer 1

（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，取BC中点E，
连接HE、PE，
则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，
S_全=3×(1)/(2)×2√(6)×√(3)+(1)/(2)×2√(6)×2√(6)×(√(3))/(2)
=9√(2)+6

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问题解析

（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

名师点评

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

考点点评：

本题考查棱锥的全面积和球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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√(2)

2

22，侧面的高PE＝√(3)

3

33，
S_全全=3×(1)/(2)×2√(6)×√(3)+(1)/(2)×2√(6)×2√(6)×(√(3))/(2)
=9√(2)+6

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问题解析

（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

名师点评

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

考点点评：

本题考查棱锥的全面积和球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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(1)/(2)111222×2√(6)

6

66×√(3)

3

33+(1)/(2)111222×2√(6)

6

66×2√(6)

6

66×(√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222
=9√(2)+6

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问题解析

（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

名师点评

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

考点点评：

本题考查棱锥的全面积和球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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√(2)

2

22+6

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（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

名师点评

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

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（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

名师点评

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

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（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

名师点评

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

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（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

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（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=√(2)，侧面的高PE＝√(3)，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．√(2)

2

22，侧面的高PE＝√(3)

3

33，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

名师点评

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

考点点评：

本题考查棱锥的全面积和球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

本题考点：

本题考点：

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

棱锥的结构特征；球的体积和表面积．

考点点评：

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考点点评：

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考点点评：

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本题考查棱锥的全面积和球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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