在水平道路上，一质量为m的拖车要将另一同质量的故障车拖移．用一根不可伸长的轻绳将两车连接，如图．行驶时两车所受阻力均为车重的k倍．当拖车拖动故障车一起匀速运动时，拖车输

Question

在水平道路上，一质量为m的拖车要将另一同质量的故障车拖移．用一根不可伸长的轻绳将两车连接，如图．行驶时两车所受阻力均为车重的k倍．当拖车拖动故障车一起匀速运动时，拖车输出功率为P，重力加速度为g．
（1）求拖车拖动故障车一起匀速运动时的速度大小v₀；
（2）在拖车拉着故障车（绳子处于拉直状态，长度为L）匀速行驶过程中，突然发现前方有一障碍物，需考虑如何刹车，以保证拖车既不与障碍物碰撞，又不被后面故障车撞上．若刚开始刹车时，拖车与障碍物的距离为x，刹车后拖车不再受牵引力，其受到的阻力变为重力的n倍（n＞k，可由司机刹车力度控制）．
①如果绳长L大于某一值L₀，即使刹车后拖车立即停下，故障车也不会撞上拖车．求L₀
②如果x大于某一值x₀，无论绳长为多少，司机都不需要踩刹车，只要关闭动力，靠原来的阻力也可使拖车在碰到障碍物之前停下，后面的故障车亦不会撞上拖车．求x₀
③在L＜L₀，x＜x₀的前提下，刹车时n在什么范围内，才能保证拖车既不与障碍物碰撞，又不被后面的故障车撞上；并根据结果讨论是否有可能出现“无论n取多大值，都无法避免碰撞”的情况，如果此种情况存在，请写出此种情况下x和L满足的关系，如果此种情况不存在，请写出理由．

Answer 1

（1）选汽车和拖车为系统，所受阻力大小为f，拖车的牵引力为F，
f=k（m+m）g
P=Fv₀，
此系统匀速运动，有F=f，
解得v0＝(P)/(2kmg)，
（2）①若L太大，导致v02−2kgL≤0，有故障车行驶距离必然小于L，即使拖车刹车后立即停下，也不会被故障车撞上，即L0＝(v02)/(2kg)；
②当x≥(v02)/(2kg)，司机不用刹车，只需关闭动力，靠原来的阻力也可使拖车在碰到障碍物之前停下，后面的故障车也不会撞上拖车，故x0＝(v02)/(2kg)；
③设从制动开始到完全停下拖车、故障车的运动的路程分别为x₁、x₂，拖车制动后，拖车和故障车加速度大小分别为a₁、a₂，
对拖车：a1＝(nmg)/(m)＝ng，x1＝(v02)/(2ng)，
对故障车：a2＝(kmg)/(m)＝kg，x2＝(v02)/(2kg)．
要使制动后故障车不与拖车相撞，有x₂≤x₁+L，
得n≤(kv02)/(v02−2kgL)＝(k((P)/(2kmg))2)/(((P)/(2kmg))2−2kgL)=n_max．
要使拖车不与障碍物相撞，必须x₁≤x，得n≥(v02)/(2gx)＝(((P)/(2kmg))2)/(2gx)＝nmin；
综上有，n的取值范围为(((P)/(2kmg))2)/(2gx)≤n≤(k((P)/(2kmg))2)/(((P)/(2kmg))2−2kgL)．
根据结果若(v02)/(2gx)≥(kv02)/(v02−2kgL)，即x≥(((P)/(2kmg))2)/(2kg)−L时，无论n取何值，都无法避免碰撞．
答：（1）拖车拖动故障车一起匀速运动时的速度大小v0＝(P)/(2kmg)．
（2）①如果绳长L大于某一值L₀，即使刹车后拖车立即停下，故障车也不会撞上拖车，L0＝(v02)/(2kg)；
②x₀的大小为x0＝(v02)/(2kg)；
③n的取值范围为(((P)/(2kmg))2)/(2gx)≤n≤(k((P)/(2kmg))2)/(((P)/(2kmg))2−2kgL)．x≥(((P)/(2kmg))2)/(2kg)−L时，无论n取何值，都无法避免碰撞．