双纽线的形心、高等数学求平面薄片D的形心，D由双纽线ρ^2=2cos2θ的右边一支围成（密度μ为常数）答案为（π/4，0）

Question

双纽线的形心、高等数学
求平面薄片D的形心，D由双纽线ρ^2=2cos2θ的右边一支围成（密度μ为常数）
答案为（π/4，0）

Answer 1

双纽线 ρ^2 = 2cos2θ 即 (x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)
右边一支面积 S = (1/2) ∫(2cos2θ)dθ
= (1/2) [sin2θ] = 1,
质心纵坐标是 0， 横坐标是
∫∫xdxdy/S = ∫dθ ∫<0, √(2cos2θ)>rcosθ*rdr
= ∫cosθdθ [(1/3)r^3]<0, √(2cos2θ)>
= (2√2/3) ∫cosθ(cos2θ)^(3/2)dθ
= (2√2/3) ∫[1-2(sinθ)^2]^(3/2)dsinθ (令 √2sinθ = sint）
= (2/3) ∫>(cost)^4dt
= (1/3) ∫<0,π/2>(1+cos2t)^2dt
= (1/3) ∫<0,π/2>[3/2+2cos2t+(1/2)cos4t]dt
= (1/3)(3π/4) = π/4
质心 C(π/4，0).