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设a是正整数，如果二次函数y=2x2+（2a+23）x+10-7a和反比例函数y＝11−3ax的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共整点．

题目详情

设a是正整数，如果二次函数y=2x²+（2a+23）x+10-7a和反比例函数y＝

11−3a

的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共整点．

▼优质解答

答案和解析

联立方程组

y＝2x2+(2a+23)x+10−7a

y＝

11−3a

，
消去y得2x²+（2a+23）x+10-7a=

11−3a

，即2x³+（2a+23）x²+（10-7a）x+3a-11=0，
分解因式得（2x-1）[x²+（a+12）x+11-3a]=0（1）
如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，
从而关于x的一元二次方程x²+（a+12）x+11-3a=0（2）必有整数根，
所以一元二次方程（2）的判别式△应该是一个完全平方数，
而△=（a+12）²-4（11-3a）=a²+36a+100=（a+18）²-224．
所以（a+18）²-224应该是一个完全平方数，
设（a+18）²-224=k²（其中k为非负整数），则（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以

a+18+k＝112

a+18−k＝2

或

a+18+k＝56

a+18−k＝4

或