如图，用一块形状为半椭圆x2+y24＝1（y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形的面积为S，则1S的最小值是239239．

Question

如图，用一块形状为半椭圆x2+(y2)/(4)＝1（y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形的面积为S，则(1)/(S)的最小值是

(2√(3))/(9)

(2√(3))/(9)

．

Answer 1

设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知x2+(y2)/(4)＝1（y≥0），得y²=4（1-x²）
∴等腰梯形ABCD的面积为S=(1)/(2)（|AD|+|BC|）|y|=(1)/(2)（2x+2）•y=（x+1）•y     （2分）
∴S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1）=-4x⁴-8x³+8x+4（0＜x＜1）
（S²）′=4（-4x³-6x²+2），
令（S²）′=0，得2x³+3x²-1=0，即（x+1）²（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，∴x=(1)/(2)，
又当0＜x＜(1)/(2)时，（S²）′＞0；当(1)/(2)＜x＜1时，（S²）′＜0，
∴在区间（0，1）上，S²有唯一的极大值点x=(1)/(2)，
∴当x=(1)/(2)时，S²有最大值为(27)/(4)；即当x=(1)/(2)时，S有最大值为(3√(3))/(2)，
∴(1)/(S)的最小值为(1)/((3√(3))/(2))=(2√(3))/(9)
故答案为：

2

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