已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|

Question

已知椭圆 (x2)/(a2)+ (y2)/(b2)=1（a>b>0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，过F₂作∠F₁PF₂外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则 (a2+e2)/(2b)的最小值为___．

Answer 1

如图，

由题意，P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上一点，过焦点F₂作∠F₁PF₂外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F₂Q交F₁P延长线于M，得PM=PF₂，
由椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PM=MF₁=2a，
连接OQ，知OQ是三角形F₁F₂M的中位线，
∴OQ=a，又OQ=2b，
∴a=2b，则a²=4b²=4（a²-c²），即c2=(3)/(4)a2，
∴(a2+e2)/(2b)=(a2+(c2)/(a2))/(2b)=(a4+c2)/(2a2b)=(16b4+(3)/(4)•4b2)/(8b3)=2b+(3)/(8b)≥2√(2b•(3)/(8b))=√(3)．
当且仅当2b=(3)/(8b)，即b2=(3)/(16)，即b=(√(3))/(4)时，(a2+e2)/(2b)有最小值为√(3)．
故答案为：√(3)．