设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2FB.求椭圆C的离心率.如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、

Question

设椭圆C :x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2FB.
求椭圆C的离心率.
如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、

Answer 1

()代表向量 (1):(AF)=2(FB)→F为AB的三等分点 设A(x1,y1),B(x2,y2) →x1+x2=3c/2① 设过焦点F(c,0)直线方程：y=√3/3*(x-c)② 联立椭圆方程 →(b²+a²/3)x²-2a²cx/3+a²c²/3-1=0 →x1+x2=2a²c/3(b²+a²/3)③ ①③→a²=9b² →e²=c²/a²=8/9→e=2√2/3 (2):由(1)→(x1+x2)=3c/2,x1x2=(a²c²/3-a²b²)/(b²+a²/3)=15b²/4 →|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1x2] |AB|=√(1+k²)*|x1-x2|带入求值即可