已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为2−1．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为√(2)−1．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+√(2)=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点）．当|AB|=(2√(5))/(3) 时，求实数t的值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知a-c=√(2)-1；                                …（2分）
又因为b=(√(2))/(√(1+1))=1，所以a²=2，b²=1．                       …（4分）
故椭圆C的方程为(x2)/(2)+y²=1．                                  …（5分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y＝k(x−2)

(x2)/(2)+y2＝1

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．           …（7分）
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k²＜(1)/(2)．                 …（9分）
x₁+x₂=(8k2)/(1+2k2)，x₁x₂=(8k2−2)/(1+2k2)．
又由|AB|=