（2014•广安三模）已知A、B是椭x22+y2=1上的两点，且AF=λFB，其中F为椭圆的右焦点．（1）当λ=2时，求直线AB的方程；（2）设M（54，0），求证：当实数λ变化时MA•MB恒为定值．

Question

（2014•广安三模）已知A、B是椭(x2)/(2)+y²=1上的两点，且

AF

=λ

FB

，其中F为椭圆的右焦点．
（1）当λ=2时，求直线AB的方程；
（2）设M（(5)/(4)，0），求证：当实数λ变化时

MA

•

MB

恒为定值．

Answer 1

（1）由已知条件知，直线AB过椭圆右焦点F（1，0）．
又直线AB不与x轴重合时，
设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系得y1+y2＝(−2m)/(2+m2)，y1y2＝(−1)/(2+m2)．
又由

AF

＝2

FB

，得-y₁=2y₂，
所以y1＝(−4m)/(2+m2)，y2＝(2m)/(2+m2)．
于是(−8m2)/((2+m2)2)＝(−1)/(2+m2)，解之得m＝±(√(14))/(7)．
故直线AB的方程为x±(√(14))/(7)y−1＝0．（7分）
（2）证明：

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