已知椭圆的中心在原点0,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP垂直OQ,|PQ|=（根号10）/2,求椭圆方程

Question

已知椭圆的中心在原点0,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP垂直OQ,|PQ|=（根号10）/2,求椭圆方程

Answer 1

由条件椭圆的中心在原点0,焦点在坐标轴上,设椭圆方程为：x^2/a+y^2/b=1,即b*x^2+a*y^2-a*b=0,由于直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,|PQ|=（根号10）/2,所以可设P点为(x,x+1),则Q点为(x+(根号5）/2,x+(根号5）/2+1).
根据椭圆方程得出：b*x^2+a*(x+1)^2-a*b=0
b*(x+(根号5）/2)^2+a*(x+(根号5）/2+1)^2-a*b=0
由于OP垂直OQ,则(x+1)/x*(x+(根号5）/2+1)/(x+(根号5）/2)=-1
解得a=2,b=2/3或a=2/3,b=2
所以椭圆方程为x^2/2+3*y^2/2=1或3*x^2/2+y^2/2=1