如图示，在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=23，BC=6．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正切值；（3）求点D到平

Question

如图示，在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中，AD ∥ BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的正切值；
（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

（1）证明：令BD与AC相交于点O，
∵在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中，
AD ∥ BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
PA=4，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
∴AC=

(2

3

) 2 + 6 2

=4

3

，BD=

(2

3

) 2 + 2 2

=4
∵AD ∥ BC，∴△AOD～△BOC，
∵ (AD)/(BC) =(2)/(6) =(1)/(3) ，∴BO= (3)/(4) ×4=3，AO= (1)/(4) ×4

3

=

3

，
∴BO ² +AO ² =（3） ² +（

3

） ² =12=AB ²
∴由勾股定理得：BO⊥AC，即：BD⊥AC，又BD⊥PA，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．（3分）
（2）由（1）知：DO⊥平面PAC，
过O作OH⊥PC于H，连DH，则DH⊥PC
则∠DHO就是二面角A-PC-D的平面角，DO= (1)/(4) ×BD= (1)/(4) ×4=1，
CO= (3)/(4) ×AC= (3)/(4) ×4

3

=3

3

，
在Rt△PAC和Rt△OHC中，
∵∠PAC=∠OHC，∠PCA=∠HCO，∴Rt△PAC～Rt△OHC，
∴ (OH)/(PA) = (OC)/(PC) ，又∵PC=

PA2+AC2

=8，OH= (33)/(2) ．
∴tan∠DHO= (DO)/(OH) = (23)/(9) ，
∴二面角A-PC-D的正切值为 (23)/(9) ．（7分）
（3）设点D到平面PBC的距离为h，
∵V _D-PBC =V _P-BDC ，
∴ (1)/(3) S △PBC •h = (1)/(3) S △BDC •PA = (1)/(3) •[(1)/(2) (2+6)•2

3

-(1)/(2) ×2×2

3

]•4 =8

3

，
∵BC=6，PB=

16+12

=2

7

，PC=

16+48

=8，
∴BC⊥PB，∴S _△PBC = (1)/(2) ×6×2

7

=6

7

，
∴h= (83)/((1)/(3)×67) = (421)/(7) ．
∴点D到平面PBC的距离为 (421)/(7) ．