定积分和一重积分是一个意思吗?

Question

定积分和一重积分是一个意思吗?

Answer 1

定积分就是一重积分,只是我们平时都不会说一重积分,都只有一个一个自变量,平时都只说定积分,递推到以后还要二重积分.
一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)
当被积函数为1时,就是直线的长度(自由度较大)
∫(a→b) dx = L(直线长度)
被积函数不为1时,就是图形的面积(规则)
∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)
另外,定积分也可以求规则的旋转体体积,分别是
盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx
圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx
计算方法有换元积分法,极坐标法等,定积分接触得多,不详说了
∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)
二重积分：有两个自变量z = f(x,y)
当被积函数为1时,就是面积(自由度较大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)
当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)
计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等
极坐标变换：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ