矩阵A=(101020101)且AB+E=A^2+B求B为何等式两边同乘A*就算出B=E呢?|A|=0吧?错在哪儿呢?

Question

矩阵A=(101 020 101)且AB+E=A^2+B 求B 为何等式两边同乘A* 就
算出B=E呢?|A|=0吧?错在哪儿呢?

Answer 1

无论A是否可逆,A*都是存在的,且A*A=|A|E
故
A* (AB+E)=A*(A^2+B)
(|A|E)B+A*=(|A|E)A+A*B
A*(B-E)=0
这里,因为A不可逆,所以A*不可逆,故B-E不一定等于零.所有这种解法不行.
考虑到AB+E=A^2+B
(A-E)B=A^2-E=(A-E)(A+E)
根据A的特征,不难判断出A-E可逆.
故B=A+E