已知总体X的概率密度f（x）=λe-λ(x-2)，x＞20，x≤2（λ＞0），X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，Y=X2．（1）求Y的数学期望EY；（2）求λ的矩估计量λ1和最大似然估计量λ2．

Question

已知总体X的概率密度f（x）=

λe-λ(x-2)，x＞2

0，x≤2

（λ＞0），X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，Y=X²．
（1）求Y的数学期望EY；
（2）求λ的矩估计量

λ1

和最大似然估计量

λ2

．

Answer 1

（1）利用期望的求解方法有：
EY=EX²
=

∫

+∞ 2

x2λe-λ(x-2)dx
=

∫

+∞ 0

(t+2)2λe-λtdt
=

∫

+∞ 0

t2λe-λtdt+4

∫

+∞ 0

tλe-λtdt+4

∫

+∞ 0

λe-λtdt
=(2)/(λ2)+(4)/(λ)+4
（2）EX=

∫

+∞ 2

xλe-λ(x-2)dx=

∫

+∞ 0

(2+t)λe-λtdt=(1)/(λ)+2
令EX=

.

X

，得

∧

λ

=(1)/(.X-2)．
似然函数L（λ）=

n

π

i=1

f(xi)=

λne-λ(

n

i=1

xi-2n) ，xi＞2，i=1，2，…，n

0， 其他

对数似然函数，当x_i＞2（i=1，2，…，n）时，
lnL（λ）=nlnλ-λ

作业搜用户 2017-10-19