设A,B分别为双曲线x/a-y/b=1（a＞0,b＞0）的左右顶点,双曲线的实轴长为4√3,焦点到渐近线的距离为√3拜（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线y=√3/3x-2与双曲线的右支交于M.N两点,且在双曲

Question

设A,B分别为双曲线x/a-y/b=1（a＞0,b＞0）的左右顶点,双曲线的实轴长为4√3,焦点到渐近线的距离为√3拜
（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线y=√3/3x-2与双曲线的右支交于M.N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使得向量OM+向量ON=t向量OD,求t的值和点D的坐标

Answer 1

(1)实轴长为4√3,即2a=4√3,所以a=2√3,a=12 焦点(c,0),渐近线 y=-b/ax,即bx-ay=0 焦点到渐近线的距离=|bc-0|/√(a+b)=bc/c=b=√3 所以b=3 即双曲线方程为：x/12-y/3=1 (2) 设M(x1,√3/3x1-2),N(x2,√3/3x2-2) 则向量OM=(x1,√3/3x1-2),向量ON=(x2,√3/3x2-2),于是向量OM+向量ON=(x1+x2,√3/3(x1+x2)-4 ) 联立x/12-y/3=1,y=√3/3x-2 消去y得到：x-16√3x+84=0 由韦达定理得到：x1+x2=16√3 则√3/3(x1+x2)-4 =√3/3*16√3-4=12 所以 向量OM+向量ON=(16√3,12) 而向量OM+向量ON=t向量OD,所以t向量OD=(16√3,12) 得到：向量OD=(16√3/t,12/t) 于是D的坐标为(16√3/t,12/t) 而D在双曲线上,代入得到：(16√3/t)/12-(12/t)/3=1 即16/t=1 t=16 解得 t=4 或者 t=-4 而D在双曲线右支,即D的横坐标16√3/t＞0 得到t＞0 所以t=4 于是D的坐标为(4√3,3) 记得采纳哦,