已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,就|AAA-5AA+7A|AAA是A的三次方,AA是A的平方,求的是行列式

Question

已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,就|AAA-5AA+7A|
AAA是A的三次方,AA是A的平方,求的是行列式

Answer 1

因为 A 的特征值互不相等,所以它可以相似对角化,即存在可逆矩阵 P 使得
(P逆) A P = D = diag {1,2,3}
于是
|AAA-5AA+7A| = |(P逆) (DDD-5DD+7D) P|
= |DDD-5DD+7D|
= |D(D-2I) (D-3I)+D |
= |diag{2, 0, 0} + D|
= 3×2×3＝18