求一道数学题a,b,c是三个不同的自然数,两两互质(互素),已知它们任意两个之和都能被第三个数整除,则a的三次方+b的三次方+c的三次方=?不能瞎凑顺便告诉你们,我凑出来答案是a=1b=2c=3

Question

求一道数学题
a,b,c是三个不同的自然数,两两互质(互素),已知它们任意两个之和都能被第三个数整除,
则a的三次方+b的三次方+c的三次方=?
不能瞎凑
顺便告诉你们,我凑出来答案是a=1 b=2 c=3

Answer 1

答案36,三个数为1,2,3
首先,我们不妨设三个数中最大的数为c
假定a+b≥2c,则,a、b中必有一个大于c,这与假定不符.所以,a+b＜2c
又因为c能整除a+b,所以必定有a+b=c.将其命名为一式
不妨再设a,b中的较大数为b,则nb=a+c（n为正整数）
带入一式,
nb=a+a+b
(n-1)b=2a
b/a=2/(n-1)
由于b比a要大,则b/a=2/(n-1)>1,所以n只能为2.
得到第二个关系式,a+c=2b
两式综合得到b=2a,c=3a
由于a,b,c两两互质,所以a只能为1,不可能为大于1的整数,否则b,c就是a的倍数不能与a互质.
所以这三个数为1,2,3,其立方和为36