在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥面ABC，AA1=2a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA1的中点．（I）求证：CD⊥面ABB1A1；（II）在侧棱BB1上取中点E，求二面角E-A1C1-A的平面角的余弦值．

Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=√(2)a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁的中点．
（I）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（II）在侧棱BB₁上取中点E，求二面角E-A₁C₁-A的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC₁A₁，
又CD⊂面ACC₁A₁∴AB⊥CD，
又A₁C=CA，D为AA₁的中点，∴CD⊥AA₁，
由AB⊥CD，CD⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）∵AA₁=√(2)a，A₁C=CA=a，∴A₁C⊥AC，又侧面ACC₁A₁⊥面ABC，∴A₁C⊥面ABC
在平面ABC内，过C点作AC的垂线为y轴，AC为x轴，A₁C为z轴建立如图所示空间坐标系．

不妨取a=1，其则A（1，0，0），B（1，1，0），A₁（0，0，1），C₁（-1，0，1），B₁（0，1，1）
E((1)/(2)，1，(1)/(2))，

A1C1

＝(−1，0，0)；

A1E

＝((1)/(2)，1，−(1)/(2))，
设面A₁C₁E的法向量为

n

＝(x，y，z)，
由

n

•

A1C1

＝0

n

•

A1E

＝0

⇒

−x＝0

(1)/(2)x+y−(1)/(2)z＝0

，取z=2，得y=1，∴

n

＝(0，1，2)，
又面ACA₁C₁法向量为

AB

＝(0，1，0)，
则二面角的余弦为cosθ＝(|n•AB|)/(|n||AB|)＝(1)/(√(5))＝(√(5))/(5)．