在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥面ABC,AA1=2a,A1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D为AA1的中点.(I)求证:CD⊥面ABB1A1;(II)在侧棱BB1上取中点E,求二面角E-A1C1-A的平面角的余弦值.
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥面ABC,AA1=a,A1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D为AA1的中点.
(I)求证:CD⊥面ABB1A1;
(II)在侧棱BB1上取中点E,求二面角E-A1C1-A的平面角的余弦值.
答案和解析
(Ⅰ)证明:∵侧面ACC
1A
1⊥面ABC,AB⊥AC,∴AB⊥平面ACC
1A
1,
又CD⊂面ACC
1A
1∴AB⊥CD,
又A
1C=CA,D为AA
1的中点,∴CD⊥AA
1,
由AB⊥CD,CD⊥AA
1,AB∩AA
1=A,
∴CD⊥平面ABB
1A
1.
(Ⅱ)∵AA
1=
a,A1C=CA=a,∴A1C⊥AC,又侧面ACC1A1⊥面ABC,∴A1C⊥面ABC
在平面ABC内,过C点作AC的垂线为y轴,AC为x轴,A1C为z轴建立如图所示空间坐标系.

不妨取a=1,其则A(1,0,0),B(1,1,0),A1(0,0,1),C1(-1,0,1),B1(0,1,1)
E(,1,),=(−1,0,0);=(,1,−),
设面A1C1E的法向量为=(x,y,z),
由⇒,取z=2,得y=1,∴=(0,1,2),
又面ACA1C1法向量为=(0,1,0),
则二面角的余弦为cosθ===.
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