（2014•道外区一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为△ABC外一点（P与C在直线AB异侧），且∠APB=45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：PA=2CD；（2）设点P关于AB的对称点为E，连接PE、CE，

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（2014•道外区一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为△ABC外一点（P与C在直线AB异侧），且∠APB=45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．

（1）求证：PA=2CD；
（2）设点P关于AB的对称点为E，连接PE、CE，试判定线段AB与CE的数量关系，并给予证明．

▼优质解答

答案和解析

证明：（1）过点A作AF⊥BP于点F

，
∵∠BPA=45°，
∴∠FAP=∠FPA=45°，
∴

＝

，
∴AP=

AF．
∵∠ABF=∠BAP+∠P=∠BAP+45°，
又∵∠CAD=∠BAP+∠CAB=∠BAP+45°
∴∠CAD=∠FBA．
又∵∠ADC=∠AFB=90°
∴△CAD∽△ABF
∴

＝

∴AF=

CD
∴AP=

AF=2CD；
（2）作CM⊥AB于点M，交AE于点N，连接BN

，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACM=∠BCM=45°，AB=

AC，
∵∠BAP=45°
又∵点P、点E关于AB对称
∴∠APB=∠AEB=45°，
∴∠BCM=∠AEB=45°．
又∵∠CIN=∠EIB
∴△CIN∽△EIB
∴

＝

，
∴

＝

，
又∵∠CIE=∠NIB
∴△NIB∽△CIE
∴∠CEI=∠IBN
∵CM⊥AB，AM=MB，相似三角形的判定与性质，
∴NA=NB，
∴∠NAB=∠NBA，
∴∠CAN=∠CBN，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CA=CE．
又∵AB=

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