（2013•上海模拟）如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P．设正方形ABCD的边长为1．（1）证明：△CMG≌△NBP；（2）

Question

（2013•上海模拟）如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P．设正方形ABCD的边长为1．
（1）证明：△CMG≌△NBP；
（2）设BE=x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．

Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠C=∠CBA=90°，∠ABD=45°，
同理∠BEG=45°，
∵CD∥BE，
∴∠CMG=∠BEG=45°，
∵MN⊥AB，垂足为N，
∴∠MNB=90°，
∴四边形BCMN是矩形，
∴CM=NB，
又∵∠C=∠PNB=90°，∠CMG=∠NBP=45°，
∴△CMG≌△NBP；

（2）∵正方形BEFG，
∴BG=BE=x，
∴CG=1-x，
从而CM=1-x，
∴y＝(1)/(2)(BG+MN)•BN＝(1)/(2)(1+x)(1−x)＝(1)/(2)−(1)/(2)x2（0＜x＜1）；

（3）由已知易得MN∥BC，MG∥BP，
∴四边形BGMP是平行四边形，
要使四边形BGMP是菱形，则BG=MG，
∴x＝√(2)(1−x)，
解得x＝2−√(2)，
∴BE＝2−√(2)时四边形BGMP是菱形．