如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等均为B的匀强磁场，方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度都为L．一个质量为m，边长也为L的正方形金

Question

如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等均为B的匀强磁场，方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度都为L．一个质量为m，边长也为L的正方形金属线框以某一速度进入磁场时，恰好做匀速直线运动．若ab边到达ff′与gg′之间中点位置时，线框又恰好做匀速直线运动，且设金属线框电阻为R，则：
（1）金属线框的ab边开始进入磁场时，线框速度v多大？
（2）金属线框的ab边到达ff′与gg′之间的中点位置时，线框速度又为多大？
（3）金属线框从开始进入磁场到ab边到达ff′与gg′间中点位置的过程中产生的热量是多少？

Answer 1

（1）设线框刚进入磁场时速度为v，则回路中的感应电动势为：E ₁ =BLv；
感应电流分别I ₁ = (E1)/(R) ；
线框受到的安培力大小为F ₁ = (B2 L2 v1)/(R)
根据平衡条件有mgsinθ-F ₁ =0
解得v ₁ = (mgsinθ)/(B2 L2)
（2）设当ab边到达gg′与ff′间的中点位置时速度为v ₂ ，则回路感应电动势和感应电流分别为：E ₂ =2BLv ₂ 和I ₂ = (E2)/(R)
线框受到的安培力大小为F ₂ = (4 B2 L2 v2)/(R)
由平衡条件mgsinθ- (4 B2 L2)/(R) =0
解得v ₂ = (mgR sin2 θ)/(4 B4 L4)
（3）设线框从刚进入磁场到ab边到达gg′与ff′间的中点位置的过程中产生的热量为Q，减小的重力势能为mg× (3)/(2) Lsinθ由能量转化守恒定律得 (1)/(2)

mv

21

+ (3)/(2) mgLsinθ= (1)/(2)

mv

22

+Q
解得Q= (3)/(2) mgLsinθ+ (15)/(32)

mv

21

= (3)/(2) mgLsinθ+ (15 m3 g2 R2 sin2 θ)/(32 B4 L4)
答：（1）线框速度为 (mgsinθ)/(B2 L2) ； （2）ab边到达ff′与gg′之间的中点位置时，线框速度为 (mgR sin2 θ)/(4 B4 L4) ； （3）产生的热量为 (3)/(2) mgLsinθ+ (15 m3 g2 R2 sin2 θ)/(32 B4 L4) ．