如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，

Question

如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tanθ=(3)/(4)．

（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）

Answer 1

如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），
半径r=9．设太阳光线所在直线方程为y=-(3)/(4)x+b，
即3x+4y-4b=0，…（2分）
则由(|27+24-4b|)/(√(32+42))=9，
解得b=24或b=(3)/(2)（舍）．
故太阳光线所在直线方程为y=-(3)/(4)x+24，…（5分）
令x=30，得EG=1.5米<2.5米．
所以此时能保证上述采光要求…（7分）
（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．
方法一：设太阳光线所在直线方程为y=-(3)/(4)x+b，
即3x+4y-4b=0，由(|3r+4h-4b|)/(√(32+42))=r，
解得b=h+2r或b=h-2r（舍）…（9分）
故太阳光线所在直线方程为y=-(3)/(4)x+h+2r，
令x=30，得EG=2r+h-(45)/(2)，由EG≤(5)/(2)，得h≤25-2r…（11分）
所以S=2rh+(1)/(2)πr2=2rh+(3)/(2)×r2≤2r(25-2r)+(3)/(2)×r2=-(5)/(2)r2+50r=-(5)/(2)(r-10)2+250≤250．
当且仅当r=10时取等号．
所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）
方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），
设过点G的上述太阳光线为l₁，则l₁所在直线方程为y-(5)/(2)=-(3)/(4)（x-30），
即3x+4y-100=0…（10分）
由直线l₁与半圆H相切，得r=(|3r+4h-100|)/(5)．
而点H（r，h）在直线l₁的下方，则3r+4h-100<0，
即r=-(3r+4h-100)/(5)，从而h=25-2r…（13分）
又S=2rh+(1)/(2)πr2=2r(25-2r)+(3)/(2)×r2=