证明：两个矩阵相似,则它们的秩、迹和行列式都分别相等.

Question

证明：两个矩阵相似,则它们的秩、迹和行列式都分别相等.

Answer 1

你这个题目换句话说叫做"矩阵的秩,迹和行列式函数具有相似不变性"
首先A和B相似的定义,存在可逆矩阵P,A=P逆BP
第一个,秩相等的证明:
预备定理:P可逆时r(A)=r(PA)=r(AP).因此r(A)=r(P逆BP)=r(BP)=r(B).
第二个,迹相等的证明:
预备定理:tr(AB)=tr(BA).因此tr(A)=tr(P逆BP)=tr(BPP逆)=tr(B)
第三个:行列式相等的证明.:
预备定理:det(AB)=det(A)det(B),因此det(A)=det(P逆)det(B)det(P)=det(B).
其中第二个预备定理用迹的定义和矩阵乘法定义显然.第三个定理用行列式定义和矩阵乘法定义laplace展开显然.第一个定理证明方法多样,例如列独立和行独立矩阵的方法.三个预备定理都是常用定理