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一个截面呈圆形的细管被弯成大圆环,并固定在竖直平面里.在管内的环底A处有一个质量为m、直径比管径略小的小球,小球上连有一根穿过位于环顶B处管口的轻绳,在外力F的作用下小球以

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一个截面呈圆形的细管被弯成大圆环,并固定在竖直平面里.在管内的环底A处有一个质量为m、直径比管径略小的小球,小球上连有一根穿过位于环顶B处管口的轻绳,在外力F的作用下小球以恒定速率v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动,如图所示,已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦系数为μ,而大环内侧部分的管内壁则是光滑的.忽略大环内、外侧半径的差别,认为均为R.试求小球从A点运动到B点过程中力F做的功.
▼优质解答
答案和解析
由于动能定理有:WF+WG+Wf=0
所以摩擦力做的功为:WF=WG+Wf
因为:f=μN
N−mgcosθ=m
v2
R

所以有:f=μmgcosθ+μm
v2
R

将轨道分为很多微小的元段,每个元段长度为△s,则每元段对应摩擦力做功为:
dWf=μmgcosθ•△s+μm
v2
R
△s=μmgsx+μm
v2
R
△s
因为功是标量,求和遵从代数累积,故有:
Wf=μmg∑sx+μm
v2
R
∑S
(1)若N始终存在且大于零,即v2≥gR,则求和为全程累积有:
∑sx=0,∑S=πR
所以有:Wf=μπmv2
此时拉力F做功WF=2mgR+μπmv2
(2)若v2<gR,N存在的最大角度θmax=arccos
v2
gR

求和为部分累积有:∑sx=Rsinθmax,∑s=Rθmax
所以:
Wf=μmgR
1−(
v2
gR
)2
+μm
v2
R
Rarccos
v2
gR
=μm(
g2R2−v4
+v2arccos
v2
gR

此时拉力做功WF=2mgR+μm(
g2R2
+v2arccos
v2
gR

答:当v2<gR时拉力做的功为2mgR+μm(
g2R2−v4
+v2arccos
v2
gR
)
当v2≥gR时拉力做的功为2mgR+μπmv2
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