一个截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面里．在管内的环底A处有一个质量为m、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过位于环顶B处管口的轻绳，在外力F的作用下小球以

Question

一个截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面里．在管内的环底A处有一个质量为m、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过位于环顶B处管口的轻绳，在外力F的作用下小球以恒定速率v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦系数为μ，而大环内侧部分的管内壁则是光滑的．忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R．试求小球从A点运动到B点过程中力F做的功．

Answer 1

由于动能定理有：W_F+W_G+W_f=0
所以摩擦力做的功为：W_F=W_G+W_f
因为：f=μN
N−mgcosθ＝m(v2)/(R)
所以有：f＝μmgcosθ+μm(v2)/(R)
将轨道分为很多微小的元段，每个元段长度为△s，则每元段对应摩擦力做功为：
dWf＝μmgcosθ•△s+μm(v2)/(R)△s=μmgsx+μm(v2)/(R)△s
因为功是标量，求和遵从代数累积，故有：
Wf＝μmg∑sx+μm(v2)/(R)∑S
（1）若N始终存在且大于零，即v²≥gR，则求和为全程累积有：
∑s_x=0，∑S=πR
所以有：Wf＝μπmv2
此时拉力F做功WF＝2mgR+μπmv2
（2）若v²＜gR，N存在的最大角度θmax＝arccos(v2)/(gR)
求和为部分累积有：∑s_x=Rsinθ_max，∑s=Rθ_max
所以：
Wf＝μmgR√(1−((v2)/(gR))2)+μm(v2)/(R)Rarccos(v2)/(gR)=μm(√(g2R2−v4)+v2arccos(v2)/(gR)
此时拉力做功WF＝2mgR+μm(√(g2R2)+v2arccos(v2)/(gR)）
答：当v²＜gR时拉力做的功为2mgR+μm(√(g2R2−v4)+v2arccos(v2)/(gR))
当v²≥gR时拉力做的功为2mgR+μπmv²．