设复数z1=sinα+i，z2=m+（m-cosα）i，其中i为虚数单位，α∈[0，2π），m∈R，且z1=z2．（1）求α的值；（2）设t=cosα+isinα，求f（t）=1+t+t2+…+tn-1（n∈N*）．

Question

设复数z₁=sinα+i，z₂=m+（m-cosα）i，其中i为虚数单位，α∈[0，2π），m∈R，且z₁=z₂．
（1）求α的值；
（2）设t=cosα+isinα，求f（t）=1+t+t²+…+t^n-1（n∈N*）．

Answer 1

（1）由题意知，z₁=sinα+i，z₂=m+（m-cosα）i，
∵z₁=z₂，∴m=sinα，m-cosα=1，即sinα-cosα=1，∴sin(α−(π)/(4))＝(√(2))/(2)，
由α∈[0，2π）得，α−(π)/(4)∈[−(π)/(4) ， (7π)/(4))，
∴α−(π)/(4)＝(π)/(4)或α−(π)/(4)＝(3π)/(4)，即α＝(π)/(2)或α=π．
（2）由题意知，t=cosα+isinα，f（t）=1+t+t²+…+t^n-1（n∈N*）
①当α＝(π)/(2)时，t=i，∴f(t)＝1+i+i2+…+in＝(1−in)/(1−i)，
当n=4k（n∈N*）时，f（t）=0；当n=4k+1时，f（t）=1；当n∈N，n=4k+2时，f（t）=1+i；
当n=4k+3时，f（t）=i．
②当α=π时，t=-1，f(t)＝1−1+1−1+…+(−1)n−1＝(1−(−1)n)/(2)，
当n为奇数时，f（t）=1；当n为偶数时，f（t）=0．