已知函数f（x）=acosx+x2，x∈（-π2，π2），a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（π6，f（π6））处的切线的斜率为12+π3，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立

Question

已知函数f（x）=acosx+x²，x∈（-(π)/(2)，(π)/(2)），a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（(π)/(6)，f（(π)/(6)））处的切线的斜率为(1)/(2)+(π)/(3)，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=acosx+x²，x∈（-(π)/(2)，(π)/(2)），a∈R，
∴f′（x）=-asinx+2x，
∴f′（(π)/(6)）=-asin(π)/(6)+(π)/(3)=-(1)/(2)a+(π)/(3)=(1)/(2)+(π)/(3)，
∴a=-1，
∴f′（0）=sin0+0=0，f（0）=-1，
∴线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=-1，
（Ⅱ）∵f（x）≥2恒成立，
∴acosx+x²≥2，在x∈（-(π)/(2)，(π)/(2)）上恒成立，
∵0<cosx≤1
∴a≥(2-x2)/(cosx)，
设g（x）=(2-x2)/(cosx)，
∴g′（x）=(-2xcosx+(2-x2)sinx)/(cos2x)，
令h（x）=-2xcosx+（2-x²）sinx，
∴h′（x）=-2cosx+2xsinx-2xsinx+（2-x²）cosx=-x²cosx<0，在（-(π)/(2)，(π)/(2)）上恒成立，
∴h（x）在（-(π)/(2)，(π)/(2)）单调递减，
∵h（-(π)/(2)）=-2+(π2)/(4)>0，h（0）=0，h（(π)/(2)）=2-(π2)/(4)<0
∴当x∈（-(π)/(2)，0）时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增，
当x∈（0，(π)/(2)）时，g′（x）<0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_max=g（0）=2，
∴a≥2