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回旋加速器的工作原理如图1所示,置于真空中的D形金属盒半径为R,两盒间狭缝的间距为d,磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直,被加速粒子的质量为m,电荷量为+q,加在狭缝间的交变电

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回旋加速器的工作原理如图1所示,置于真空中的D形金属盒半径为R,两盒间狭缝的间距为d,磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直,被加速粒子的质量为m,电荷量为+q,加在狭缝间的交变电压如图2所示,电压值的大小为Ub.周期T=
2πm
qB
.一束该粒子在t=0-
T
2
 时间内从A处均匀地飘入狭缝,其初速度视为零.现考虑粒子在狭缝中的运动时间,假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动,不考虑粒子间的相互作用.求:
(1)出折粒子的动能Em
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t
(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出,d应满足的条件.
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▼优质解答
答案和解析
(1)粒子运动半径为R时,依据牛顿第二定律,结合洛伦兹力提供向心力,
则有:qvB=m
v2
R

且Em=
1
2
mv2
解得:Em=
q2B2R2
2m

(2)粒子被加速n次到达动能为Em,则Em=nqU0
粒子在狭缝间做匀加速运动,设n次经过狭缝的总时间为△t;
而加速度a=
qU0
md

因匀加速直线运动,依据运动学公式,则有:nd=
1
2
a△t2
由t0=(n-1)
T
2
+△t,
解得:t0=
πBR2+2BRd
2U0
-
πm
qB

(3)只有在0到(
T
2
-△t)时间内,飘入的粒子才能每次均被加速,
则所占的比例为η=
T
2
-△t
T
2

由η>99%,解得:d<
πmU0
100qB2R

答:(1)出射粒子的动能
q2B2R2
2m

(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间
πBR2+2BRd
2U0
-
πm
qB

(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出,d应满足的条件:d<
πmU0
100qB2R
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