甲、乙二人比赛,如果甲胜的概率p>1/2,三局两胜的比赛规则对甲有利还是五局三胜的规则对甲有利.为什么?

Question

甲、乙二人比赛,如果甲胜的概率p>1/2,三局两胜的比赛规则对甲有利还是五局三胜的规则对甲有利.为什么?

Answer 1

三局两胜的概率为：P1=p^3+C(3,2)(1-p)p^2=3p^2-2p^3
赢3局+赢两局
五局三胜的概率为：P2=p^5+C(5,4)(1-p)p^4+C(5,3)(1-p)^2 *p^2=6p^5-15p^4+10p^3
赢5局+赢4（局）+赢3局
要想证明五局三胜的概率大于三局两胜的概率,只需证明P2-P1>0即可
P2-P1=6p^5-15p^4+12p^3-3p^2=(6p^3-15p^2+12p-3)p^2由于1/20即可
令f(p)=6p^3-15p^2+12p-3,那么f `(p)=18p^2-30p+12=6(3p^2-5p+2)=6(2-3p)(1-p)
由于1/20,所以f `(p)=6(2-3p)(1-p)>0
因此f(p)在区间1/20证明出,五局三胜比三局两胜更有利.