建造容积为V的矩形水池,问要怎样设计,才能使建筑材料最省条件极值——拉格朗日乘法

Question

建造容积为V的矩形水池,问要怎样设计,才能使建筑材料最省
条件极值——拉格朗日乘法

Answer 1

在许多极值问题中,函数的自变量往往要受到一些条件的限制,比如,要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱,确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z,则水箱容积V=xyz
焊制水箱用去的钢板面积为 S=2xz+2yz+xy
这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题.
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题,其一般形式是在条件
限制下,求函数F的极值
条件极值与无条件极值的区别
条件极值是限制在一个子流形上的极值,条件极值存在时无条件极值不一定存在,即使存在二者也不一定相等.
例如,求马鞍面 z=x.^2-y.^2+1 被平面XOZ 平面所截的曲线上的最低点.
从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点,但限制在马鞍面被平面 平面所截的曲线上,有极小值 1,这个极小值就称为条件极值.