如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在BAD上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：2AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形

Question

如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在

BAD

上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°

（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：√(2)AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM²，AM²，BM²三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵

AB

=

AB

，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；

（2）在CD的延长线上截取DE=BC，
连接EA，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，

AB=AD

∠ABC=∠ADE

BC=DE

，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵

AD

=

AD

∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴√(2)AC=CE，
∴√(2)AC=CD+DE=CD+BC；

（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=√(2)AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，

AE=AM

∠FAB=∠MAD

AB=AD

，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，
∵BM²+MF²=BF²，
∴BM²+2AM²=DM²．