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如图,CD是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,B是弧AD的中点,P点为直线CD上的一个动点,当CD=4时,求:(1)AP+BP的最小值.(2)AP-BP的最大值.
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如图,CD是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,B是弧AD的中点,P点为直线CD上的一个动点,当CD=4时,
求:(1)AP+BP的最小值.
(2)AP-BP的最大值.
求:(1)AP+BP的最小值.
(2)AP-BP的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)作点A关于MN的对称点A′,连接A′B,交MN于点P,则PA+PB最小,
连接OA′,AA′.
∵点A与A′关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′,
∵点B是弧AN^的中点,
∴∠BON=30°,
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°,
又∵OA=OA′=2,
∴A′B=2
.
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2
.
(2)连接AO,BO,AB,过点A作AN⊥OB,
∵CD是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,B是弧AD的中点,CD=4,
∴∠AOB=30°,AN=
AO=1,
∴ON=
,BN=2-
,
∴AP-BP最大值=AB=
=2
连接OA′,AA′.
∵点A与A′关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′,
∵点B是弧AN^的中点,
∴∠BON=30°,
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°,
又∵OA=OA′=2,
∴A′B=2
2 |
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2
2 |
(2)连接AO,BO,AB,过点A作AN⊥OB,
∵CD是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,B是弧AD的中点,CD=4,
∴∠AOB=30°,AN=
1 |
2 |
∴ON=
3 |
3 |
∴AP-BP最大值=AB=
12+(2−
|
2−
|
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