如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图3，当DC=AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE．

题目详情

如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．
作业搜

（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当

时，延长AB至点E，使BE=

AB，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．

▼优质解答

答案和解析

（1）如图2，连接OD，
∵OP⊥PD，PD∥AB，
∴∠POB=90°，
∵⊙O的直径AB=12，
∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°，
∴OP=OB•tan30°=6×

，
在Rt△POD中，
PD=

OD2-OP2

62-(2

；

（2）①证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，
∵

，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OD⊥FB，
∵BE=

AB，

∴OB=BE，
∴BF∥ED，
∴∠ODE=∠OFB=90°，
∴DE是⊙O的切线；

②由①知，OD⊥BC，
∴CF=FB=OB•cos30°=6×

，
在Rt△POD中，OF=DF，
∴PF=

DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），
∴CP=CF-PF=3

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