如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点A（0，-1），且离心率为22．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直

Question

如图，椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）经过点A（0，-1），且离心率为(√(2))/(2)．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．

Answer 1

（Ⅰ）由题设知，(c)/(a)=(√(2))/(2)，b=1，
结合a²=b²+c²，解得a=√(2)，
所以(x2)/(2)+y²=1；
（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），
代入椭圆方程(x2)/(2)+y²=1，
可得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知得（1，1）在椭圆外，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
则x₁+x₂=(4k(k-1))/(1+2k2)，x₁x₂=(2k(k-2))/(1+2k2)，
且△=16k²（k-1）²-8k（k-2）（1+2k²）>0，解得k>0或k<-2．
则有直线AP，AQ的斜率之和为k_AP+k_AQ=(y1+1)/(x1)+(y2+1)/(x2)
=(kx1+2-k)/(x1)+(kx2+2-k)/(x2)=2k+（2-k）（(1)/(x1)+(1)/(x2)）=2k+（2-k）•(x1+x2)/(x1x2)
=2k+（2-k）•(4k(k-1))/(2k(k-2))=2k-2（k-1）=2．
即有直线AP与AQ斜率之和为2．