等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面

Question

等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．

（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S_△PCQ=S_△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

Answer 1

（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t
∴s=(1)/(2)×t×(10-t)=(1)/(2)(10t-t2)
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t-10
∴s=(1)/(2)×t×(t-10)=(1)/(2)(t2-10t)（4分）
（2）∵S_△ABC=(1)/(2)AB•BC=50（5分）
∴当t＜10秒时，S_△PCQ=(1)/(2)(10t-t2)=50
整理得t²-10t+100=0无解（6分）
当t＞10秒时，S_△PCQ=(1)/(2)(t2-10t)=50
整理得t²-10t-100=0解得t=5±5√(5)（舍去负值）（7分）
∴当点P运动5+5√(5)秒时，S_△PCQ=S_△ABC（8分）
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=(√(2))/(2)t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM=AC=10√(2)∴DE=5√(2)
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5√(2)
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．