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已知:⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,点M为⊙O上一点,且在弦BC下方.(1)如图①,若∠ABC=60°,BM=1,CM=3,则AM的长为;(2)如图②,若∠ABC=45°,BM=1,CM=3,则AM的长为2222;(3)如图③

题目详情
已知:⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,点M为⊙O上一点,且在弦BC下方.
(1)如图①,若∠ABC=60°,BM=1,CM=3,则AM的长为______;
(2)如图②,若∠ABC=45°,BM=1,CM=3,则AM的长为
2
2
2
2

(3)如图③,若∠ABC=30°,BM=1,CM=3,则AM的长为
4
3
3
4
3
3

(4)如图④,若∠ABC=n°,BM=a,CM=b,(其中a<b),求出AM的长(答案用含有a,b及n°的三角函数的代数式表示).
▼优质解答
答案和解析

(1)过点A作AE⊥MC,垂足为E,过点A作AD⊥BM,垂足为D,
则∠D=∠AEC=90°,∠AEM=90°,
∵AB=AC,
AB
AC

∴∠AMD=∠AMC,
∴MA是∠CMD的角平分线,
∴AD=AE,
在Rt△ADB和Rt△AEC中,
AB=AC
AD=AE
               
∴Rt△ADB≌Rt△AEC(HL),
∴DB=CE,
同理可证Rt△ADM≌Rt△AEM,
∴MD=ME,
∴DM=ME=
1
2
(DM+ME)=
1
2
(BM+DB+MC-CE)=
1
2
(BM+CM)=
1
2
×(1+3)=2,
∵弧AB=弧AC,
∴∠AMB=∠ABC=60°,
∵∠D=90°,
∴∠DAM=30°,
∴AM=2DM=4,
故答案为:4;
                            
(2)由(1)知:DM=2,
∵∠AMD=∠ABC=45°,
∴AM=
2
DM=2
2

故答案为:2
2


(3)由(1)知:DM=2,
∵∠AMD=∠ABC=30°,
∴AM=2AD,
由勾股定理得:AD2+22=(2AD)2
AD=
2
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