已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点M为⊙O上一点，且在弦BC下方．（1）如图①，若∠ABC=60°，BM=1，CM=3，则AM的长为；（2）如图②，若∠ABC=45°，BM=1，CM=3，则AM的长为2222；（3）如图③

题目详情

已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点M为⊙O上一点，且在弦BC下方．
（1）如图①，若∠ABC=60°，BM=1，CM=3，则AM的长为______；
（2）如图②，若∠ABC=45°，BM=1，CM=3，则AM的长为

；
（3）如图③，若∠ABC=30°，BM=1，CM=3，则AM的长为

；
（4）如图④，若∠ABC=n°，BM=a，CM=b，（其中a＜b），求出AM的长（答案用含有a，b及n°的三角函数的代数式表示）．

▼优质解答

答案和解析

（1）过点A作AE⊥MC，垂足为E，过点A作AD⊥BM，垂足为D，
则∠D=∠AEC=90°，∠AEM=90°，
∵AB=AC，
∴

＝

，
∴∠AMD=∠AMC，
∴MA是∠CMD的角平分线，
∴AD=AE，
在Rt△ADB和Rt△AEC中，

AB＝AC

AD＝AE

∴Rt△ADB≌Rt△AEC（HL），
∴DB=CE，
同理可证Rt△ADM≌Rt△AEM，
∴MD=ME，
∴DM=ME=

（DM+ME）=

（BM+DB+MC-CE）=

（BM+CM）=

×（1+3）=2，
∵弧AB=弧AC，
∴∠AMB=∠ABC=60°，
∵∠D=90°，
∴∠DAM=30°，
∴AM=2DM=4，
故答案为：4；

（2）由（1）知：DM=2，
∵∠AMD=∠ABC=45°，
∴AM=

DM=2

，
故答案为：2

；

（3）由（1）知：DM=2，
∵∠AMD=∠ABC=30°，
∴AM=2AD，
由勾股定理得：AD²+2²=（2AD）²，
AD=

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