在平面直角坐标系中，如果点P的纵坐标是横坐标的二倍，则称点P为“诚信点”，例如点（1，2），（-2，-4），（2，22），…都是“诚信点”，显然“诚信点”有无数个（1）若点P（m，6）是

Question

在平面直角坐标系中，如果点P的纵坐标是横坐标的二倍，则称点P为“诚信点”，例如点（1，2），（-2，-4），（√(2)，2√(2)），…都是“诚信点”，显然“诚信点”有无数个
（1）若点P（m，6）是反比例函数y=(n)/(x)（n为常数，n≠0）的图象上的“诚信点”，求这个反比例函数的解析式
（2）函数y=2px+q（p，q为常数）的图象上存在“诚信点”吗？若存在，请求出“诚信点”的坐标，若不存在，说明理由
（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a>0）的图象上有且只有一个“诚信点”，令t=b²+4a，当-2<b<2时，试求t的取值范围．

Answer 1

（1）∵点P（m，6）是“诚信点”，
∴2m=6，
∴m=3，
∴P（3，6），
∵点P（3，6）是反比例函数y=(n)/(x)（n为常数，n≠0）的图象上，
∴n=3×6=18，
∴反比例函数的解析式为y=(18)/(x)；

（2）假设函数y=2px+q（p，q为常数）的图象上存在“诚信点”，
设此点坐标为（m，2m），
∴2mp+q=2m，
∴2m（p-1）=-q，
∵p，q为常数，
∴①当p-1=0时，即p=1时，q=0，此时函数y=2x图象上的点全部是“诚信点”，
②当p-1≠0时，即p≠1时，
Ⅰ、当p=0时，此时函数为y=q，“诚信点”为（(q)/(2)，q），
Ⅱ、当p≠0时，m=-(q)/(2(p-1))，
∴“诚信点”为（-(q)/(2(p-1))，-(q)/(p-1)）．

（3）设二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a>0）的图象上的“诚信点”的坐标为（m，2m），
∴am²+bm+1=2m，
∴am²+（b-2）m+1=0，
∵二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a>0）的图象上有且只有一个“诚信点”，
∴am²+（b-2）m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=（b-2）²-4a=0，
∴（b-2）²=4a，
∴t=b²+4a=b²+（b-2）²=2（b-1）²+2，
∵-2<b<2，
∴-3<b-1<1，
∴0<（b-1）²<9，
∴2<2（b-1）²+2<20，
∴2<t<20，
即：t的取值范围为2<t<20．