P为三角形ABC所在平面上一点,且角APB等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形ABC的费马点.1.若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC=60度,PA=3,PC=4,那么PB的值?2.在锐角三角形ABC外侧作等边三角

Question

P为三角形ABC所在平面上一点,且角APB等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形ABC的费马点.
1.若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC=60度,PA=3,PC=4,那么PB的值?
2.在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'.求证：BB'过三角形ABC的费马点P,且BB'=PA+PB+PC
连接AC和BB

Answer 1

∵∠ABC=60度
∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度
∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP的平方=PA×PC
∴PB=2√3
（2）由∠BPA=120°,∠AB′C=60°,
∴A,P,C,B′四点共圆.
∴∠APB′=∠ACB′=60°,
∴∠APB+∠APB′=180°,
∴BPB′三点共线.
在PB′上取一点D,使得∠PCD=60°,
由∠CPB′=120°-60°=60°,
∴△PCD是等边三角形,得：PC=PD（1）,
在△APC和△B′DC中,
AC=B′C,由∠PCD=∠ACB′=60°,
∴∠ACP=∠B′CD,PC=DC,
∴△ACP≌△B′CD,得AP=DB′（2）
由（1）,（2)得：
BP+AP+CP=BB′