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如图所示是某“汤勺”示意图,由一细长柄AB与一半球BC构成,且AB与半球相切,切点为B.已知半球的半径为R,AB柄的长度为L,L:R=8:1,现用一细线系住A点,并将细线竖直

题目详情
如图所示是某“汤勺”示意图,由一细长柄AB与一半球BC构成,且AB与半球相切,切点为B.已知半球的半径为R,AB柄的长度为L,L:R=
8
:1,现用一细线系住A点,并将细线竖直悬挂,如果不计“汤勺”的质量,则“汤勺”内水的最大高度是(  )
A.
3
4
R
B.
2
3
R
C.
1
2
R
D.
1
3
R

▼优质解答
答案和解析
(1)过A作水面的垂线,垂足为E,垂线与BC交于点F,
水面与“汤勺”的另一交点为D,如图所示.
(2)由作图过程及数学知识可知:直线AE一定过半球的球心,
点F就是半球的球心BF=CF=R;由题意知:AB=L,L:R=
8
:1,
所以AB=
8
R,△CEF是直角三角形;
△ABF ∽ △CEF,由相似三角形的知识得:
AB
CE
=
BF
EF

所以CE=
AB
BF
EF =
8
R
R
EF=
8
EF,即CE=
8
EF;
在直角△CEF中,由勾股定理得:CE 2 +EF 2 =CF 2 ,即:(
8
EF)2+EF 2 =R 2
则EF=
R
3
,则“汤勺”内水的最大高度是h=R-EF=R-
R
3
=
2
3
R.
故选B.