好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列4个问题，请你一起参与，共同进步．如图，△ABC，点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点，点D是∠MBC与∠NCB平分线的交点，点E是∠ABC与∠ACG平分

Question

好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列4个问题，请你一起参与，共同进步．
如图，△ABC，点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点，点D是∠MBC与∠NCB平分线的交点，点E是∠ABC与∠ACG平分线的交点．
问题（1）：若∠BAC=50°，则∠BIC=______°，∠BDC=______°．
问题（2）：．猜想∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
问题（3）：若∠BAC=x°（0＜x＜90），则当∠ACB等于______ 度（用含x的代数式表示）时，CE∥AB．说明理由．
问题（4）：若△BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求∠BAC的度数．

Answer 1

（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）
=180°-(1)/(2)（180°-∠A）
=90+(1)/(2)∠BAC=115°；
∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四边形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-(1)/(2)∠BAC=65°；

（2）∠BEC=(1)/(2)∠BAC．
证明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-(1)/(2)∠BAC）
=(1)/(2)∠BAC；

（3）当∠ACB等于（180-2x）°时，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A=x°，
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ACG=2∠ACE=2x°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=2x°-x°=x°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=（180-2x）°．

（4）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°
若∠EBD=3∠D时∠BAC=120°；
若∠EBD=3∠E时∠BAC=60°；
若∠D=3∠E时∠BAC=45°；
若∠E=3∠D时∠BAC=135°．
故答案为：（1）115，65；（2）∠BEC=(1)/(2)∠BAC；（3）180-2x；（4）若∠EBD=3∠D时∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E时∠BAC=60°；若∠D=3∠E时∠BAC=45°；若∠E=3∠D时∠BAC=135°．