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(1)在4×4的方格纸中,把部分小方格涂成红色,然后划去2行和2列,若无论怎么划,都至少有一个红色的小方格没有被划去,则至少要涂多少个小方格?证明你的结论.(2)如果把上题中
题目详情
(1)在4×4的方格纸中,把部分小方格涂成红色,然后划去2行和2列,若无论怎么划,都至少有一个红色的小方格没有被划去,则至少要涂多少个小方格?证明你的结论.
(2)如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸(n≥5)”,其他条件不变,那么,至少要涂多少个小方格?证明你的结论.
(2)如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸(n≥5)”,其他条件不变,那么,至少要涂多少个小方格?证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)至少要涂7个小方格,
证明:假设只涂了6格或更少,则4行中至少有1行未涂或只涂了1格,
若某行未涂,其他3行至少有1行涂了不多于2格,划去这2格所在的2列,划去其他2行,剩下的4格都未涂色,
若某行只涂了1格,其他3行涂了5格或更少,则其中至少有1行涂了不多于1格,划去这2格所在的2列,划去其他2行,剩下的4格都未涂色,
所以只涂了6格或更少,不能满足要求,
另一方面,如果第1行涂1,2格,第2行涂2,3格,
第3行涂1,3格,第4行涂第4格,能满足要求,
所以至少要涂7个小方格.
(2)至少要涂5个小方格,
证明:显然涂4格或更少是不满足要求的,
如果选5个不同行不同列的小方格(如对角线上的5个小方格)涂成红色,能满足要求,
因为,这时任何2行2列,至多只能包含其中4个小方格.
证明:假设只涂了6格或更少,则4行中至少有1行未涂或只涂了1格,
若某行未涂,其他3行至少有1行涂了不多于2格,划去这2格所在的2列,划去其他2行,剩下的4格都未涂色,
若某行只涂了1格,其他3行涂了5格或更少,则其中至少有1行涂了不多于1格,划去这2格所在的2列,划去其他2行,剩下的4格都未涂色,
所以只涂了6格或更少,不能满足要求,
另一方面,如果第1行涂1,2格,第2行涂2,3格,
第3行涂1,3格,第4行涂第4格,能满足要求,
所以至少要涂7个小方格.
(2)至少要涂5个小方格,
证明:显然涂4格或更少是不满足要求的,
如果选5个不同行不同列的小方格(如对角线上的5个小方格)涂成红色,能满足要求,
因为,这时任何2行2列,至多只能包含其中4个小方格.
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