设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（-1，2，-1）T，α2=（0，-1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解．（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；（

Question

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量

α1

=（-1，2，-1）^T，

α2

=（0，-1，1）^T是线性方程组Ax=0的两个解．
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得Q^TAQ=Λ；
（Ⅲ）求A及(A−(3)/(2)E)6，其中E为3阶单位矩阵．

Answer 1

（Ⅰ）
因为矩阵A的各行元素之和均为3，
所以：A

1

1

1

＝

3

3

3

＝3

1

1

1

，
则由特征值和特征向量的定义知，λ=3是矩阵A的特征值，α=（1，1，1）^T是对应的特征向量，
∴对应λ=3的全部特征向量为：kα，其中k为不为零的常数，
又由题设知：Aα₁=0，Aα₂=0，
即：Aα₁=0•α₁，Aα₂=0•α₂，而且α₁，α₂线性无关，
所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量，
对应λ=0的全部特征向量为：k₁α₁+k₂α₂，其中k₁，k₂为不全为零的常数．

（Ⅱ）
因为A是实对称矩阵，
所以α与α₁，α₂正交，从而只需将α₁，α₂正交：
取：β₁=α₁，β2＝α2−((α2，β1))/((β1，β1))β1＝

0

−1

1

−(−3)/(6)

−1

2

−1

＝

−(1)/(2)

0

(1)/(2)

，
再将α，β₁，β₂单位化，得：
η1＝(α)/(|α|)＝

(1)/(√(3))

(1)/(√(3))

(1)/(√(3))

，η2＝(β1)/(|β1|)＝

−(1)/(√(6))

(2)/(√(6))

(1)/(√(6))

，η3＝(β2)/(|β2|)＝

−(1)/(√(2))

0

(1)/(√(2))

，
令：Q=[η₁，η₂，η₃]，则：Q^-1=Q^T，
由A是实对称矩阵必可相似对角化，得：
QTAQ＝

3
	0
		0

＝Λ．

（Ⅲ）
由（Ⅱ）知：QTAQ＝

3
	0
		0

＝Λ，
所以：
A＝QΛQT＝

(1)/(√(3))	−(1)/(√(6))	−(1)/(√(2))
(1)/(√(3))	(2)/(√(6))	0
(1)/(√(3))	−(1)/(√(6))	(1)/(√(2))

3
	0
		0

(1)/(√(3))	(1)/(√(3))	(1)/(√(3))
−(1)/(√(6))	(2)/(√(6))	−(1)/(√(6))
−(1)/(√(2))	0	(1)/(√(2))

＝

1	1	1
1	1	1
1	1	1

，
则：QT(A−(3)/(2)E)6Q＝[QT(A−(3)/(2)E)Q]6＝(QTAQ−(3)/(2)E)6
=[

3
	0
		0

−

(3)/(2)
	(3)/(2)
		(3)/(2)

]6＝

((3)/(2))6
	((3)/(2))6
		((3)/(2))6

＝((3)/(2))6E，
于是：(A−(3)/(2)E)6＝Q((3)/(2))6EQT＝((3)/(2))6E．