若n阶行列式Dn=|aij|=a,则D=|-aij|的值是多少?

Question

若n阶行列式Dn=|aij|=a,则D=|-aij|的值是多少?

Answer 1

从n = 1开始探索：
显然加了个负号之后 显然 D' = -a
如果是二阶行列式
| a b |
| c d |
元素前面加负号→
| -a -b |
| -c -d |
算出D' = a
同理,三阶行列式可以算出 D' = -a
那么可以归纳：D' = (-1)^n · a
如何证明：
看每一行,都有一个负号,提出这些负号,有n个(-1),故D' = (-1)^n · a
利用：
| ka1 ka2 ka3 ··· kan |
| ··· |
| ··· |
=
| a1 a2 a3 ··· an |
k· | ··· |
| ··· |