设A=1−12a1cb−24，存在秩大于1的3阶矩阵B，使得BA=0．①求a，b，c；②求A的特征值和它们的重数；③作3阶可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵．

Question

设A=

1	−1	2
a	1	c
b	−2	4

，存在秩大于1的3阶矩阵B，使得BA=0．
①求a，b，c；
②求A的特征值和它们的重数；
③作3阶可逆矩阵P，使得P^-1AP是对角矩阵．

Answer 1

①由于BA=0，且A非零和r（B）＞1，
因此r（A）+r（B）＜3
∴r（A）＜3-r（B）=1
∴A三行是对应成比例的
∴(1)/(a)＝(−1)/(1)＝(2)/(c)，(1)/(b)＝(−1)/(−2)
解得：a=-1，b=2，c=-2．
②由于A＝

1	−1	2
−1	1	−2
2	−2	4

，因而A的特征多项式为
|λE−A|＝

.

λ−1	1	−2
1	λ−1	2
−2	2	λ−4

.

=λ²（λ-6）=0
解得，特征值为：0（2重），6（1重）．
③当λ=0时，解AX=0，得基础解系：p1＝(1，1，0)T，p2＝(−2，0，1)T
当λ=6时，解（6E-A）X=0，得基础解系：p3＝(1，−1，2)T
∴存在可逆矩阵P＝

1	−2	1
1	0	−1
0	1	2

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