线性代数题已知A为n阶反对称阵,若E+A可逆,证明(E-A)(A+E)^-1是正交阵.

Question

线性代数题
已知A为n阶反对称阵,若E+A可逆,证明(E-A)(A+E)^-1是正交阵.

Answer 1

知识点:1.若A可逆,AB=BA,则 A^-1B=BA^-1
[ 在AB=BA等式两边左乘A^-1,右乘A^-1,即得结论]
2.A反对称 A^T = -A.
3.(A^-1)^T = (A^T)^-1
证明:由于 E+A 可逆,
所以 (E+A)^T = E^T+A^T = E-A 也可逆.
又由 (E-A)(E+A) = (E+A)(E-A)
所以 (E-A)^-1(E+A) = (E+A)(E-A)^-1
又因为 [(E-A)(A+E)^-1]^T
= [(A+E)^-1]^T(E-A)^T
= [(A+E)^T]^-1 (E^T-A^T)
= (E^T+A^T)^-1(E+A)
= (E-A)^-1(E+A)
= (E+A)(E-A)^-1
所以 [(E-A)(A+E)^-1 ] [(E-A)(A+E)^-1]^T
= (E-A)(A+E)^-1(E+A)(E-A)^-1
= (E-A)(E-A)^-1
= E
所以 (E-A)(A+E)^-1 是正交矩阵.