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矩阵存在相似对角阵的充要条件是什么?如果已知一个方阵A,肯定能找到它的等价阵却不一定能找到它的相似阵那么,对于给定的矩阵A,如何看出它是否存在相似阵?又,对于已知的矩阵A
题目详情
矩阵存在相似对角阵的充要条件是什么?
如果已知一个方阵A,肯定能找到它的等价阵
却不一定能找到它的相似阵
那么,对于给定的矩阵A,如何看出它是否存在相似阵?
又,对于已知的矩阵A,如何求它的相似阵B?(这里P是未知的)
谢谢高手指点
矩阵A与B等价是指,A经过几次初等变换,可以得到B
假设PAQ=B,则A与B等价
但是如果A与B是相似的,那么A与B必定是等价的,但是反之却不一定成立。
楼下的不要用定义回答,并不能解答我的问题,因为这里P是未知的
如果已知一个方阵A,肯定能找到它的等价阵
却不一定能找到它的相似阵
那么,对于给定的矩阵A,如何看出它是否存在相似阵?
又,对于已知的矩阵A,如何求它的相似阵B?(这里P是未知的)
谢谢高手指点
矩阵A与B等价是指,A经过几次初等变换,可以得到B
假设PAQ=B,则A与B等价
但是如果A与B是相似的,那么A与B必定是等价的,但是反之却不一定成立。
楼下的不要用定义回答,并不能解答我的问题,因为这里P是未知的
▼优质解答
答案和解析
矩阵A存在相似对角阵的充要条件是:如果A是n阶方阵,它必须有n个线性无关的特征向量。
至于如何看A是否存在相似矩阵,只须求出其特征值和特征向量即可看出,公式为AX=λX,其中X为特征向量,λ为特征值。注意,有可能存在求出的某个λ是多重特征值的情况,如w重特征值,只要这个λ对应有w个线性无关的特征向量即不影响相似矩阵的存在。
至于如何求相似矩阵B,现在P不知道,要先求P,P是A的线性无关的特征向量X的组合P=[X1 X2...Xn],求出P后,按P^(-1)AP=B求B即可。
至于如何看A是否存在相似矩阵,只须求出其特征值和特征向量即可看出,公式为AX=λX,其中X为特征向量,λ为特征值。注意,有可能存在求出的某个λ是多重特征值的情况,如w重特征值,只要这个λ对应有w个线性无关的特征向量即不影响相似矩阵的存在。
至于如何求相似矩阵B,现在P不知道,要先求P,P是A的线性无关的特征向量X的组合P=[X1 X2...Xn],求出P后,按P^(-1)AP=B求B即可。
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