在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A.2B.1C.83D.43

Question

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）
A. 2
B. 1
C. (8)/(3)
D. (4)/(3)

Answer 1

建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（(0+0+4)/(3)，(0+4+0)/(3)），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P₁（x，y），满足

(a+x)/(2)+(y+0)/(2)＝4

(y−0)/(x−a)•(−1)＝−1

，
解得

x＝4

y＝4−a

，即P₁（4，4-a），易得P关于y轴的对称点P₂（-a，0），
由光的反射原理可知P₁，Q，R，P₂四点共线，
直线QR的斜率为k=(4−a−0)/(4−(−a))=(4−a)/(4+a)，故直线QR的方程为y=(4−a)/(4+a)（x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（(4)/(3)，(4)/(3)），代入化简可得3a²-4a=0，
解得a=(4)/(3)，或a=0（舍去），故P（(4)/(3)，0），故AP=(4)/(3)
故选D