已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=0求证至少存在一点ξ∈（0,1）.使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

Question

已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=0求证至少存在一点ξ∈（0,1）.使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

Answer 1

证明:
设G'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) ,f(ξ)的原函数为F(ξ)+C
则G(ξ)=f(ξ)*ξ+F(ξ)+C
因为 G（0）=F(ξ)+C G（1）=F(ξ)+C 所以G（0）=G（1）
所以 G（x）满足罗尔定理的条件
故,在( 0,1 ) 存在一点ξ,使 G'(ξ)=0
所以G'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) =0,即 f'(ξ)=-f(ξ)/ξ